Números figurados : uma engenharia didática sobre as relações, visualização pelo software Geogebra e representações matriciais e propriedades via ladrilhos

Abstract

Esta tese investiga as representações dos números figurados na formação de professores de Matemática, buscando compreender como diferentes abordagens podem favorecer e ampliar estratégias de ensino. O estudo adota como referencial teórico a Teoria das Situações Didáticas e a metodologia de pesquisa Engenharia Didática, estruturada em suas quatro fases: análises preliminares, análises a priori, experimentação e análises a posteriori. As representações clássicas de números figurados como fórmulas gerais, equações de recorrência e funções geradoras serviram de base para o desenvolvimento de três formas de representação exploradas na pesquisa: (i) visualização de configurações no GeoGebra, que explora o assunto de forma geométrica e tecnológica, (ii) construções por ladrilhamento envolvendo números poligonais, que aborda os números figurados por meio de uma representação visual alternativa e (iii) abordagem em forma matricial, que estabelece uma relação entre números figurados e a noção de matriz companheira. Na etapa de aplicação prática, foram trabalhadas apenas duas dessas formas: a visualização no GeoGebra, direcionada especificamente para propriedades de números figurados via números triangulares, e a construção por ladrilhamentos dos números triangulares. Para operacionalizar a proposta, elaboraram-se cinco situações didáticas aplicadas a turmas de licenciatura em Matemática, integrando recursos digitais, materiais manipuláveis e contextos históricos. Os resultados apontam que a articulação entre representações clássicas e novas configurações favoreceu a transposição entre formas algébricas, visuais e geométricas, estimulando a formulação de conjecturas e a investigação de propriedades, com potencial para enriquecer a formação docente